Kesempatan kali ini kita akan membahas beberapa contoh soal tentang persamaan trigonometri dan penyelesaiannya.
Berikut merupakan beberapa contoh soal persamaan trigonometri dan penyelesaiannya:
1. Tentukan himpunan penyelesaian sin x = untuk 0 ≤ x ≤
360°!
Jawaban:
sin x = 1/2 √3
(untuk 0 ≤ x ≤ 360°)
sin x = sin 60°
maka:
x = 60° + k ⋅
360°
- k = 0 → x = 60°
+ 0 ⋅
360° = 60°
- k = 1 → x = 60°
+ 1 ⋅
360° = 420°
(tidak memenuhi karena 0 ≤ x ≤
360°)
x = (180° – 60°)
+ k ⋅
360°
• k = 0 → x =
120° + 0 ⋅ 360° = 120°
• k = 1 → x =
120° + 1 ⋅ 360° = 480° (tidak memenuhi karena 0 ≤ x ≤ 360°)
Jadi, himpunan
penyelesaiannya adalah {60°,120°}.
2. Tentukan himpunan penyelesaian Tan ( x – 20 ) = √3 untuk
interval -120° < x < 360°
Pembahasan:
Tan ( x – 20) = √3
√3 = 60°
→ x – 20° = 60° +
k . 180°
→ x = 60° + 20 + k
. 180°
→ x = 80° + k .
180°
Langkah
selanjutnya kita ganti k-nya dengan bilangan bulat
x = 80° + k . 180°
• k = -1, x = 80°
+ (-1) . 180° = (-100°)
• k = 0, x = 80° +
0 . 180° = 80°
• k = 1, x = 80° +
1 . 180° = 260°
• k = 2, x = 80° +
2 . 180° = 440°
Dari nilai-nilai
di atas kita cari yang tidak kurang dari -120° dan tidak lebih dari 360°
Jadi himpunan penyelesaian dari Tan ( x – 20) = √3 untuk interval (-120°) < x < 360° adalah (-100°, 80°, 260°).
3. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x = 1/2
dalam interval 0° <x ≤ 360°.
Jawab :
cos 2x = 1/2
cos 2x = cos 60°
maka
2x = 60° + k.360°
x = 30° + k.180°
Untuk k = 0 maka x
= 30° + (0)180° = 30°
Untuk k = 1 maka x
= 30° + (1)180° = 210°
dan
2x = –60° + k.360°
x = –30° + k.180°
Untuk k = 1 maka x
= –30° + (1)180° = 150°
Untuk k = 2 maka x
= –30° + (2)180° = 330°
Jadi H = { 30°, 150° , 210° , 330° }
4. Untuk 0° ≤ x ≤ 180° tentukanlah himpunan penyelesaian cos
5x = 1/2 √2
Jawab :
cos 5x = 1/2 √2
cos 5x = cos 455x
= 45 + n.360°
x = 9 + n.72untuk
n = 0°
maka x =9
untuk n = 1
maka x =81
untuk n = 2
maka x =1535x =
-45 + n.360°
x = -9 + n.72untuk
n = 1
maka x = 63
untuk n = 2
maka x = 135°Jadi,
himpunan penyelesaiannya yakni{9, 63, 81, 135, 153}
5. Tentukan nilai-nilai x dimana Sin (x) = untuk -270° <
x < 720°
Pembahasan:
Sin (x) = ½ √2
Sin (x) = Sin (
45° ), berarti disini nilai a = 45°
Untuk mengetahui
nilai x, subtitusikan nilai 45° untuk a kedalam rumus
• x = a + k .
360°
= 45° + k .
360°
• x = ( 180°- a )
+ k . 360°
= ( 180° -
45° ) + k . 360°
Langkah
selanjutnya kita ganti k-nya dengan bilangan bulat
• untuk x = 45° +
k . 360°
· k = -1, x =
45° + (-1) . 360° = (-315°)
· k = 0, x =
45° + ( 0 ) . 360° = 45°
· k = 1, x =
45° + ( 1 ) . 360° = 405°
• untuk x = (180° - 45°) + k . 360°
· k = -1, x =
(180° - 45°) + (-1) . 360° = (-225°)
· k = 0 , x =
(180° - 45°) + (0) . 360° = 135°
· k = 1, x =
(180° - 45°) + (1) . 360° = 495°
Karena dalam soal
ini intervalnya -270°< x < 720°
Maka cari nilai
yang tidak kurang dari -270° dan tidak lebih dari 720°
Berarti nilai-nya
adalah (-225), 45°, 135°, 405°, 495°)
Jadi himpunan
penyelesaian Sin (x) = ½√2 untuk -270° < x < 720° adalah (-225°,45°,
135°, 405°, 495°)
